Геометрия на звука

През 1787 г. Хладни издава книгата „Entdeckungen über die Theorie des Klanges“ („Открития в теорията на звука“). Методът му е прост: посипва стъклена или метална пластина с фин пясък, придържа я в една точка и прекарва цигулков лък по ръба ѝ. Пластината зазвучава и пясъкът тръгва.

След секунди песъчинките напускат местата, които трептят, и се подреждат по линиите, които остават неподвижни — възловите линии. Хладни обикаля Европа с този опит, а през 1809 г. го показва в Париж пред Наполеон, който обявява награда за математическото му обяснение.

Кожата на барабана е опъната и опъването я връща в изходно положение. Пластината не е нужно да се опъва: тя сама се съпротивлява на огъването. Тази коравина на огъване, D = Eh³ / 12(1 − ν²), расте с куба на дебелината h — два пъти по-дебела пластина е осем пъти по-корава. Това е моделът на тънката пластина на Кирхоф–Лав.

Оттук идва и различният закон за височината на тона. За тънка пластина f = C·k², където C = (1/2π)√(D/ρh): честотата расте с квадрата на вълновото число k, което показва колко гъсто е нагъната фигурата. Ако разстоянието между линиите намалее наполовина, тонът се повишава четири пъти; при барабана той само би се удвоил.

Песъчинката се откъсва от повърхността, когато пластината се ускорява нагоре по-силно, отколкото гравитацията я дърпа надолу: Γ = Aω²/g > 1, където A е местната амплитуда, а ω — кръговата честота. Над този праг при всяко падане песъчинката отскача на кратко разстояние в случайна посока, леко наклонена надолу по склона на повърхността под нея.

Така всяка песъчинка се лута на случайни подскоци, а дължината им зависи от това колко силно трепти мястото под нея. Над пучностите, където пластината се люлее най-силно, песъчинките бързо биват изтласкани; във възлите, където пластината е неподвижна, вече нищо не ги подхвърля и те остават там. Фигурата се появява за няколко секунди.

В приближението на Рейли за свободна квадратна пластина две произведения на косинуси се събират или изваждат: cos(mπx/a)cos(nπy/a) ± cos(nπx/a)cos(mπy/a). Целите числа m и n броят полувълните по всеки ръб, а второто произведение е първото с разменени m и n.

Знакът не е формалност. Той определя симетрията спрямо диагоналите: при минус диагоналът остава неподвижен и пясъкът се събира по него, при плюс — не. Същите m и n, а две различни фигури. (При истинска пластина двете звучат и малко различно; този модел пренебрегва разликата.)

Днес лъкът не е нужен. Вибратор или винт в центъра разклаща една точка с честотата, която изберете. Пластината отговаря със смес от всичките си форми на трептене, в която преобладават тези със собствена честота най-близо до зададената.

Когато плавно сменяте честотата, фигурите се преливат една в друга, без скокове. При резонанс една-единствена форма надделява над останалите и линиите стават ясни. За моделираната тук алуминиева пластина 240 × 240 × 1 mm първите резонанси са измерени при 630, 1023, 1240, 1368 и 1795 Hz.

Възловите линии на кръгла пластина са n диаметъра и s концентрични окръжности. Хладни забелязва, че една окръжност повече повишава тона приблизително колкото два диаметъра повече — или с формула, f ∝ (n + 2s)².

Рейли обяснява защо: n + 2s играе ролята на вълновото число, а тонът расте с квадрата му. През 1982 г. Росинг сравнява закона с измервания на истински пластини и показва къде е точен и къде се разминава — най-неточен е при най-ниските форми. Приближение е, но издържа проверката на времето.

Възбуждането точно в центъра задейства само формите, при които центърът се движи; тези с възел в центъра мълчат. Преместете точката и тласъкът вече не следва симетрията на пластината: включват се и мълчащите досега форми, а фигурата се накланя, разделя или губи някоя от огледалните си оси.

В това е целият инструмент: пластина, честота и място, където да я разклатите. Всичко на екрана следва от тези три неща. В лабораторията имате и трите, а пясъкът прави останалото.